サインコサインタンジェント表の完全攻略Q＆A！暗記のコツから応用まで徹底解説

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ここからは、塾や予備校の指導現場、さらにはYahoo!知恵袋などの学習コミュニティで毎年のように寄せられる「三角比の表に関するリアルなつまずき」について、専門目線でQ&A形式にて回答します。

Q1：「tan（タンジェント）の値だけどうしても覚えられず混乱します…」

A1：tanは覚える必要はありません。「sin ÷ cos」の分子だけを見れば1秒で作れます！

三角比の相互関係の公式に「tan θ ＝ sin θ / cos θ」という鉄則があります。30度・45度・60度のsinとcosは、分母がほぼ共通（30度と60度はともに分母が「2」、45度はともに「√2」）です。つまり、割り算をすると分母同士が約分されて消えるため、「（sinの分子）÷（cosの分子）」がそのままtanの値になります。

• tan 30°：sin30°（1/2）とcos30°（√3/2）の分子だけを見て「1 / √3」
• tan 45°：同じ値同士の割り算なので「1」
• tan 60°：sin60°（√3/2）とcos60°（1/2）の分子だけを見て「√3 / 1」＝「√3」

また、グラフの「傾き（高さ÷横）」として捉えると、角度が30度（なだらか）→45度（ちょうど中間）→60度（急斜面）と大きくなるにつれ、値も「1/√3（約0.57）→ 1 → √3（約1.73）」と純粋に大きくなっていくため、大小関係から逆算することも可能です。

Q2：「90度を超えて180度になると、プラス・マイナスの符号がパニックになります」

A2：単位円（半径1の円）の「座標」に置き換えれば、符号の暗記はゼロになります！

90度を超える鈍角（120度、135度、150度など）で符号を間違える最大の原因は、図を描かずに頭の中だけで処理しようとすることです。原点を中心とする半径1の半円（単位円）を描いたとき、円周上の点の座標は「（x座標, y座標）＝（cos θ, sin θ）」と定義されます。

• sin θ は「y座標（高さ）」：0度〜180度の範囲（円の上半分）では、y座標は常に上側にあるため、sinは180度までずっとプラス（＋）です。
• cos θ は「x座標（横の位置）」：90度を超えて左側（第2象限）に入ると、x座標はマイナス領域に入ります。そのため、90度を超えたらcosはすべてマイナス（−）になります。
• tan θ は「直線の傾き」：90度を超えると直線は「右下がり」になるため、90度を超えたらtanもすべてマイナス（−）です。

たとえば「120度」なら、180度まであと「60度」足りません。つまり、数値そのものは「60度の表」と全く同じで、左側にあるからcosとtanにマイナスをつけるだけ、と機械的に処理できます。

Q3：「0度、90度、180度の『0』や『1』、『値なし』が毎回あやふやになります」

A3：これも単位円の4つの頂点座標「(1,0)」「(0,1)」「(-1,0)」を見るだけで解決します！

三角形がつぶれてしまう0度・90度・180度は、直角三角形ではなく単位円の座標で考えます。

• 0°の点：一番右端なので座標は (x, y) ＝ (1, 0)。よって cos 0°＝1、sin 0°＝0。
• 90°の点：一番上なので座標は (x, y) ＝ (0, 1)。よって cos 90°＝0、sin 90°＝1。
• 180°の点：一番左端なので座標は (x, y) ＝ (-1, 0)。よって cos 180°＝-1、sin 180°＝0。

そして「tan 90°」が「値なし（定義されない）」となる理由は、tan 90° ＝ sin 90° ÷ cos 90° ＝ 1 ÷ 0 となり、数学において「0で割る計算」は存在しない（分母が0に近づくと値が無限大に発散してしまう）ためです。