なぜ540度になる？五角形の内角の和を図解で証明！三角形分割の仕組みを徹底解説

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五角形の内角の和を自力で導出する最も直感的かつ標準的な手法が、「1つの頂点から対角線を引く」分割法です。

任意の五角形ABCDEを用意し、頂点Aを選びます。頂点Aから隣り合わない頂点Cと頂点Dに向かって2本の対角線を引きます。このシンプルな操作によって、五角形の内部は重なり合うことなく、3つの独立した三角形（△ABC、△ACD、△ADE）に分割されます。

ここで重要なのは、3つの三角形が持つすべての内角の総和が、元の五角形の内角の総和と完全に一致する点です。具体的には以下の通りです。

• △ABCの内角の和：180度
• △ACDの内角の和：180度
• △ADEの内角の和：180度

これら3つの三角形の内角を足し合わせると、180度 × 3 ＝ 540度となります。頂点Aの角は3分割され、頂点CとDの角は2分割されていますが、それぞれを合算すれば元の五角形の各内角に戻ります。この視覚的証明法を理解していれば、公式の暗記に頼る必要は一切ありません。